發表
我的網誌
愛因斯坦曾說過：「複利的威力遠大於原子彈。」
想徹底了解複利的讀者，一定得詳加閱讀，
本篇對複利有精闢的解說，讓你完全了解複利的意義及其計算方式。
因為單利與複利之間有著密不可分的關係，
了解複利之前一定得先知道單利是什麼。
單利的意義：
不論付息期間是多久，
所茲生的利息均不會加入本金再循環計息，
也就是說計息的本金從期初到期末都是一樣的。
舉個簡單的例子
張三跟朋友借100元，約定利息以年利率10%『單利』計算，3年後還款。
請問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢？
本金:100元 ，年利率:10%
一年的利息就是 100元X10% =10元
計算三年的利息，只需要把利息加起來就好了10+10+10=30元
本利和就是100+30=130元
來源:怪老子
複利的意義:
所茲生的利息會加入本金再循環計息，
也就是俗話說的"利滾利，息滾息"
舉個簡單的例子
例如：張三跟朋友借款100萬元，約定利息以年利率6%複利計算，
3年後還款，每年計息一次。
請問3年後張三必須歸還朋友本金及利息總共多少錢？
FV =1000000*(1+6%)3 =1000000*(1+6%)^3 =1,191,016
第1年 = 1000000*(1+ 6%) = 1,060,000
第2年 = 1060000*(1+ 6%) = 1,123,600
第3年 = 1123600*(1+ 6%) = 1,191,016
來源:怪老子
"利滾利，息滾息"的情況下報酬比單利還要多，而且時間越長效果越明顯
就是愈後面每年所成長金額愈大。
舉個例子來說：以期初投入100元、2%及18%例，來瞧瞧20年後兩者相差多少？
投資100元，18%複利 20年變 28倍
進階篇：用Excel幫自己計算單複利
想進一步自己計算單複利的朋友，這裡提供一個Excel檔案供讀者下載，裡面共有四張工作表，
都是本篇會用到之試算，分別為：
單利
複利
複利次數之影響
實質利率
複利離不開單利
複利一定有付息期間，也就是在當期的最後一天，才將利息加到本金上，
在期間內所產生的利息均是以單利計算。
例如「每月」付息一次的複利，只有在每月的最後一天才以「單利」算出利息，
然後再將此利息加上期初的本金，做為下一期計息的本金。
這樣的複利也稱作月複利。同樣道理，若每季計息一次，
就稱作季複利，意思是當季內產生的利息都是以「單利」計算。
來源:怪老子
複利公式推導
期末終值(本利和)：
= 期初本金 + 利息
= 期初本金 + 期初本金 *rate
= 期初本金*(1+rate)。
意思是每期末的終值等於該期之期初本金乘上(1+rate)。
下表列出1~n期之『期末本利和』之明細，
每期之『期末本利和』又當做下一期的『期初本金』去計息。
所以第2期之『期初本金』等於第1期之『期末終值』；
第3期之『期初本金』等於第2期之『期末終值』，依此類推。
可以看出第 n 期之期末終值(FV) = PV*(1+rate)n。
來源:怪老子
通用複利公式
公式(2)比較容易令人混淆的是每期利率(rate)及期數(n)。
因應付息期間的不同，每期利率及期數算法均有些不同。
有無一個通用的式子可以全部都適用呢？
例如一般金融機構所都是使用年利率(或稱名目利率 Rn)，
名目利率就是去銀行時掛在牆壁上讓大家看的利率表，
又名掛牌利率(現在利率變動頻繁，很多銀行現在都改成了LED顯示)。
那麼，可以直接使用『名目利率(Rn)』換算成『每期利率(rate)』嗎？
是的，或許那些財務專家們聽到了大家的問題，
就另外寫了一個公式，全部以名目利率為基礎。
因為付息期間可能是一年、半年或一個月，
那麼每期利率就可以用名目利率除上每年計息的次數來換算。
每年計息次數一般會以 m 來代表，以半年計息一次為例，
等於每年計息2次(m = 2)，也就是說以『半年』為一期，一年有兩期。
每期利率 = Rn / m
可以直接這樣除的原因是：這半年內都以單利計算。
依此類推，一月計息一次(m=12)，rate 等於是月利率(Rn / 12)。
期數(n)也得隨著rate的付息期間來改變，例如半年計息一次(m=2)，
兩年到期，那麼就得使用半年利率(rate = Rn / m = Rn / 2)。
因為一年有兩期，所以兩年就有4期了，
所以期數(n)就變成『每年付息次數(m)』乘上『年數(t)』，也就是：n = m*t。
將公式(2)的rate換成(Rn/m)，n換成(m*t)就可寫成通用的複利未來值或終值公式：
FV = PV*(1+Rn/m)m*t ---------公式(3)
- PV：期初金額
- Rn：名目年利率
- m：每年計息次數(複利次數)
- t：年數
Rn/m的意義是每期的利率，
例如Rn / 2 就是半年利率；Rn / 4 就是季利率；Rn / 12 就是月利率。
m*t就是總計息次數，也就是俗稱的複利次數，
例如每月複利一次(m=12)，3年(t=3)總共複利36次 (12*3)。
來源:怪老子
例如100元存入銀行，名目年利率6%，
每月複利一次，每年12次(m=12)，求3年後之未來值FV？
每月計息一次，就是一年複利12次，所以m = 12。
期間為3年(n=3)，所以總共計息次數m*n = 12*3。
FV = 100*(1+6%/12)36
以Excel表示 =100*(1+6%/12)^36 = 119.67
同上例但是改成每季計息一次，求半年之未來值FV？
每季計息一次，就是一年計息4次，所以m = 4。
期間為半年(n=1/2)，所以總共計息次數4*(1/2) = 2。
FV = 100*(1+6%/4)2
以Excel表示 =100*(1+6%/4)^2 = 103.02
複利次數對未來值之影響
每年複利的次數愈多，實質年利率就愈高，終值就愈高。
但是差別到底有多少呢？在下載的Excel檔中，
『複利次數之影響』這工作表，期初以100元投入(讀者可自行更改儲存格B1)，
分別以名目利率6%、20%兩組，
每組均以年複利(1年複利1次)及日複利(1年複利365次)分別計算終值。
下面有兩張圖，上圖為6%，下圖為20%。可以看出年利率“6%”的部份，
不論每年複利一次或365次，20年之間差別不大。
可是再看年利率“20%”(下圖)，這兩者差別可就大了。
所以說利率愈高，每年複利次數的影響愈大。
由下圖的分析，可以看出名目利率不大的話，終值對複利次數的敏感度不大。
來源:怪老子
實質年利率
根據公式(3)，相同本金、相同年利率、相同期間，
只是每年的複利次數不一樣時，就會有不同的結果。
而且每年複利愈多次，應該得到更多錢才是。
沒錯，複利次數愈多，一年後期末未來值就愈高，
但不是等比例的提高，而是愈趨近於飽和。
以100元存銀行，年利率6%，來看看不同的計息次數結果會有何不同：
來源:怪老子
由上表可以看出計息次數由每年一次到12次時，
實質年利率由6.00%升到6.17%，而且愈來愈平。
複利次數由12次到365次時，實質年利率卻只由6.17%升到6.18%。
也就是說每月複利一次跟每日複利一次沒差多少啦，
我想這也是銀行複利次數以月複利為主的原因吧。
連續複利
複利既然那麼厲害，那麼每個貸款者也都心想著：
要是能隨時都複利就好了。上表最後一列的每年計息次數就是無窮多次，
也就是分分秒秒都在複利的意思，學術界稱這為連續複利。
還好~~~上天有眼，沒給那些貸款者太多好處。連續複利實質增加有限，
因為從『每月複利』到『每日複利』對實質年利率的改變都不是很大了，
那麼『每日複利』到『連續複利』的實質年利率理應也改變不大才是，
結果正如所料，還是維持6.18%沒變。
連續複利時，未來值的公式如下：
FV=PV*ｅRn*t
PV是期初值，ｅ是自然指數，Rn 是『名目年利率』，
t 是『年』。ｅ在Excel裡用的是EXP函數。
例如100元投資利率6%，以連續複利計，兩年後的終值如下：
FV = 100*e(6%*2) 以Excel公式表示：
=100*EXP(6%*2)
=112.75
實質年利率公式
實質年利率的意思是：名目利率(Rn)經過一年多次的複利後，
相當於一年複利一次的『實質利率』或稱『等值利率』。
利率的意思是：利息佔期初本金的比例，也就是：
利率(Re)
= 利息 / 本金
= (FV - PV) / PV
= FV/PV - 1 ---------公式(4)
FV可用公式(3)去代入，一年複利終值就是當 t = 1，
所以將 FV = PV*(1+Rn/m)m 代入公式(4)
實質利率(Re)：
= PV*(1+Rn/m)m/ PV -1
=(1+Rn/m)m- 1 ---------公式(5)
Re =>實質利率 (Effect)，Rn=>名目利率(Nominal )，m =>每年複利次數
來源:怪老子
小編:原來運用複利的效果，把投資賺到的錢再投資進去，可以多賺到這麼多!
看完怪老子詳細的解說後，是不是也對投資充滿熱誠呢
來用用怪老子寫的軟體吧﹐
